Cliquez un cercle pour lire sa courbure.

Trois cercles tangents deux à deux laissent entre eux un « triangle » courbe. Le plus grand cercle qui s'y loge a une courbure (1/rayon) donnée par Descartes (1643) : k₄ = k₁ + k₂ + k₃ ± 2√(k₁k₂ + k₂k₃ + k₃k₁). Le même calcul sur les nombres complexes donne son centre. Chaque nouveau cercle crée trois nouveaux trous, que l'on remplit à leur tour.

Le grand cercle compte en négatif (−1), car il contient les autres. En partant de −1, 2, 2, toutes les courbures du joint sont des nombres entiers : 3, 6, 11, 14, 15… C'est le « joint entier », un sujet de recherche encore actif en théorie des nombres. Bougez le curseur pour un joint quelconque.